均匀电流导线内的磁场

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坐标定义

坐标系定义如图,该坐标系下的向量表示为(r,\theta,z)。导线区域内的电流密度可定义为\bm J=(0,0,J),求导线内部磁场时,由对称关系,可以定义导线内部磁场强度为\bm H=\bm H(r)=H(r)\bm{e_\theta},即H_\theta=H(r)H_r=H_z=0

微分形式

由麦克斯韦方程组的微分形式,有:

\bigtriangledown \times \bm H = \bm J

在柱坐标系下,有:

\begin{aligned} \bigtriangledown \times \bm H &= \bm{e_r}(\frac{1}{r}\frac{\partial H_z}{\partial \theta}-\frac{\partial H_\theta}{\partial z})+\bm{e_\theta}(\frac{\partial H_r}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial r})+\bm{e_z}\frac{1}{r}(\frac{\partial rH_\theta}{\partial r}-\frac{\partial H_r}{\partial \theta}) \\ &= -\bm{e_r}\frac{\partial H_\theta}{\partial z}+ \bm{e_z}\frac{1}{r}\frac{\partial rH_\theta}{\partial r}\\ &= J\bm{e_z} \end{aligned}

故有:

\begin{aligned} \frac{1}{r}\frac{\partial rH_\theta}{\partial r} = J \end{aligned}

也即:

\frac{\text d rH(r)}{\text d r}=Jr

整理可得:

\frac{H(r)}{r}+\frac{\text d H(r)}{\text d r}=J

在导线内,代入边界条件H(0)=0易解得:

H(r)=\frac{J}{2}r

COMSOL仿真结果也可以验证该结果。

e02b0a0174f08670615518d48b9913c.png

从导线中心向导线边缘作直线提取数据如下:

4705a7ef6c8fa31d1f44b1a0b375fea.png

在导线外,有\bm J = (0,0,0),则有:

H(r)=\frac{C}{r}

代入边界条件H(R)=JR/2,有:

H(r)=\frac{JR^2}{2r}

积分形式

当然也可以使用积分形式得到问题的解。

\oint \bm B \cdot d \bm l = \mu I

沿导线中心取半径为r的圆作为积分路线,由对称性,该积分路线上的磁场大小处处相等,可设为B(r)。在导线内,有:

B(r)2\pi r = \mu\frac{\pi r^2}{\pi R^2}I

也即:

B(r)=\mu Jr

与上述结果一致。

同时,在导线外,有:

B(r)2\pi r = \mu I

也即:

B(r)=\frac{\mu I}{2\pi r}\equiv \frac{\mu J R^2}{2 r}

标题:均匀电流导线内的磁场
作者:joyqat
地址:https://joyqat.top/articles/2022/03/15/1647342410556.html

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