应力与应力张量的坐标变换

  |   0 评论   |   456 浏览

应力

经过物体内的任一点,可选取一个有向平面微元(其方向可由其法向\bm n定义),该平面微元上的单位面积受力称为应力,可记作\bm T^{(\bm {n})},称为牵引矢量(Traction Vector)。要全面描述一个点的应力情况,需要知道经过该点任意平面微元的受力情况。柯西应力定理表明,三维空间中,三个互相垂直的矢量(例如\bm T^{(\bm {e_i})})可以确定该点任意的\bm T^{(\bm {n})}

对于任一点,在选定的坐标系下,存在一个二阶张量\bm \sigma,使得\bm T ^{(\bm n)} =\bm{n}\cdot\bm{\sigma}, \text{i.e.~} T^{(\bm n)}_j=\sigma_{ij}n_i

\bm \sigma可以取为:

\bm \sigma = \left[ \begin{array}{} \bm T^{(\bm {e_1})}\\ \bm T^{(\bm {e_2})}\\ \bm T^{(\bm {e_3})}\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{} \sigma_{11}& \sigma_{12}& \sigma_{13}\\ \sigma_{21}& \sigma_{22}& \sigma_{23}\\ \sigma_{31}& \sigma_{32}& \sigma_{33}\\ \end{array} \right] \equiv \left[ \begin{array}{} \sigma_{xx}& \sigma_{xy}& \sigma_{xz}\\ \sigma_{yx}& \sigma_{yy}& \sigma_{yz}\\ \sigma_{zx}& \sigma_{zy}& \sigma_{zz}\\ \end{array} \right] \equiv \left[ \begin{array}{} \sigma_{x}& \tau_{xy}& \tau_{xz}\\ \tau_{yx}& \sigma_{y}& \tau_{yz}\\ \tau_{zx}& \tau_{zy}& \sigma_{z}\\ \end{array} \right]

应力张量的坐标变换

坐标系变换L=[l_{ij}]定义为新坐标系X'和旧坐标系X中对应单位向量\bm{x_i'}\bm{x_j}夹角的余弦,可表示为l_{ij}=\cos(<\bm{x_i'},\bm{x_j}>)=\bm{x_i'}\cdot\bm{x_j}

容易验证L具备性质L^{\rm{T}}=L^{-1},即L^{\rm{T}}L=LL^{\rm{T}}=Il^{-1}_{ij}=l_{ji},也即l_{ik}l_{jk}=l_{ki}l_{kj}=\delta_{ij}

对应力张量的变换可以通过对牵引矢量\bm T的变换来理解。对于矢量\bm T,定义经过变换L变换后的矢量为\bm T',则根据定义,有:\bm T = T_i\bm{x_i}\bm T' =T_i'\bm{x_i}'

由于\bm T\bm T'表示的是同一矢量,有\bm T = \bm T',由变换L的定义容易知道\bm{x_i}=l_{ji}\bm{x_j}',因此有

T'_i\bm{x_i}'=T_i\bm{x_i}=l_{ji}T_i\bm{x_j}'\equiv l_{ij}T_j\bm{x_i}'

因此可得:

\begin{aligned} T_i' &=l_{ij}T_j \\ \bm T'&=L\bm T \end{aligned}

同理对于方向向量\bm n,也有

\begin{aligned} n'_i&=l_{ij}n_j \\ \bm n'&=L\bm n \end{aligned}

可以通过同乘以l_{ik}求取反向关系,由L的性质并整理下标可以有

\begin{aligned} T_i&=l_{ji}T_j'\\ \bm T& = L^{\rm T}\bm T' \\ n_i&=l_{ji}n'_j \\ \bm n &= L^{\rm T}\bm n' \end{aligned}

以下分别通过指标形式和矩阵形式推导应力张量的变换。

指标形式:

将反向关系T_i=l_{ji}T_j'n_i=l_{ji}n'_j代入柯西应力定理T_i=\sigma_{ji}n_j,有

l_{ji}T_j'=\sigma_{ji}l_{kj}n'_k

又由于T_i'=\sigma_{ji}'n_j',有

l_{ji}\sigma_{kj}'n_k'=\sigma_{ji}l_{kj}n'_k

故有

\sigma_{kj}'l_{ji}=l_{kj}\sigma_{ji}

定义C_{ki}\equiv l_{ji}\sigma_{kj}'=l_{kj}\sigma_{ji},则有

\sigma_{kl}'=C_{ki}l^{-1}_{il}=C_{ki}l_{li}\equiv l_{kj}\sigma_{ji}l_{li}

整理下标后可得

\sigma_{ij}'=l_{ik}l_{jl}\sigma_{kl}

矩阵形式:

将反向关系\bm T=L^{\rm T}\bm T'\bm n=L^{\rm T}\bm n'代入柯西应力定理\bm T =\bm \sigma\bm n,有

L^{\rm T}\bm T'=\bm \sigma L^{\rm T}\bm n'

又由于\bm T' =\bm \sigma' \bm n',有

L^{\rm T}\bm \sigma' \bm n'=\bm \sigma L^{\rm T}\bm n'

左乘L,有

\bm \sigma' \bm n'=(L\bm \sigma L^{\rm T})\bm n'

比较可得

\bm \sigma' =L\bm \sigma L^{\rm T}

与指标形式的推导一致。

至此,可以得到在坐标变换L=[l_{ij}]的作用下,柯西应力张量的变换满足

\begin{aligned} \bm \sigma' &=L\bm \sigma L^{\rm T} \\ \sigma_{ij}'&=l_{ik}l_{jl}\sigma_{kl} \end{aligned}


标题:应力与应力张量的坐标变换
作者:joyqat
地址:https://joyqat.top/articles/2022/02/24/1645666375973.html

评论

发表评论


取消