应力
经过物体内的任一点，可选取一个有向平面微元(其方向可由其法向\bm n定义)，该平面微元上的单位面积受力称为应力，可记作\bm T^{(\bm {n})}，称为牵引矢量(Traction Vector)。要全面描述一个点的应力情况，需要知道经过该点任意平面微元的受力情况。柯西应力定理表明，三维空间中，三个互相垂直的矢量(例如\bm T^{(\bm {e_i})})可以确定该点任意的\bm T^{(\bm {n})}。
对于任一点，在选定的坐标系下，存在一个二阶张量\bm \sigma，使得\bm T ^{(\bm n)} =\bm{n}\cdot\bm{\sigma}, \text{i.e.~} T^{(\bm n)}_j=\sigma_{ij}n_i。
而\bm \sigma可以取为：
\bm \sigma = \left[
\begin{array}{}
\bm T^{(\bm {e_1})}\\
\bm T^{(\bm {e_2})}\\
\bm T^{(\bm {e_3})}\\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{}
\sigma_{11}& \sigma_{12}& \sigma_{13}\\
\sigma_{21}& \sigma_{22}& \sigma_{23}\\
\sigma_{31}& \sigma_{32}& \sigma_{33}\\
\end{array}
\right]
\equiv
\left[
\begin{array}{}
\sigma_{xx}& \sigma_{xy}& \sigma_{xz}\\
\sigma_{yx}& \sigma_{yy}& \sigma_{yz}\\
\sigma_{zx}& \sigma_{zy}& \sigma_{zz}\\
\end{array}
\right]
\equiv
\left[
\begin{array}{}
\sigma_{x}& \tau_{xy}& \tau_{xz}\\
\tau_{yx}& \sigma_{y}& \tau_{yz}\\
\tau_{zx}& \tau_{zy}& \sigma_{z}\\
\end{array}
\right]
应力张量的坐标变换
坐标系变换L=[l_{ij}]定义为新坐标系X'和旧坐标系X中对应单位向量\bm{x_i'}和\bm{x_j}夹角的余弦，可表示为l_{ij}=\cos(<\bm{x_i'},\bm{x_j}>)=\bm{x_i'}\cdot\bm{x_j}。
容易验证L具备性质L^{\rm{T}}=L^{-1}，即L^{\rm{T}}L=LL^{\rm{T}}=I和l^{-1}_{ij}=l_{ji}，也即l_{ik}l_{jk}=l_{ki}l_{kj}=\delta_{ij}。
对应力张量的变换可以通过对牵引矢量\bm T的变换来理解。对于矢量\bm T，定义经过变换L变换后的矢量为\bm T'，则根据定义，有：\bm T = T_i\bm{x_i}和\bm T' =T_i'\bm{x_i}'。
由于\bm T和\bm T'表示的是同一矢量，有\bm T = \bm T'，由变换L的定义容易知道\bm{x_i}=l_{ji}\bm{x_j}'，因此有
T'_i\bm{x_i}'=T_i\bm{x_i}=l_{ji}T_i\bm{x_j}'\equiv l_{ij}T_j\bm{x_i}'
因此可得：
\begin{aligned}
T_i' &=l_{ij}T_j \\
\bm T'&=L\bm T
\end{aligned}
同理对于方向向量\bm n，也有
\begin{aligned}
n'_i&=l_{ij}n_j \\
\bm n'&=L\bm n
\end{aligned}
可以通过同乘以l_{ik}求取反向关系，由L的性质并整理下标可以有
\begin{aligned}
T_i&=l_{ji}T_j'\\
\bm T& = L^{\rm T}\bm T' \\
n_i&=l_{ji}n'_j \\
\bm n &= L^{\rm T}\bm n'
\end{aligned}
以下分别通过指标形式和矩阵形式推导应力张量的变换。
指标形式：
将反向关系T_i=l_{ji}T_j'和n_i=l_{ji}n'_j代入柯西应力定理T_i=\sigma_{ji}n_j，有
l_{ji}T_j'=\sigma_{ji}l_{kj}n'_k
又由于T_i'=\sigma_{ji}'n_j'，有
l_{ji}\sigma_{kj}'n_k'=\sigma_{ji}l_{kj}n'_k
故有
\sigma_{kj}'l_{ji}=l_{kj}\sigma_{ji}
定义C_{ki}\equiv l_{ji}\sigma_{kj}'=l_{kj}\sigma_{ji}，则有
\sigma_{kl}'=C_{ki}l^{-1}_{il}=C_{ki}l_{li}\equiv l_{kj}\sigma_{ji}l_{li}
整理下标后可得
\sigma_{ij}'=l_{ik}l_{jl}\sigma_{kl}
矩阵形式：
将反向关系\bm T=L^{\rm T}\bm T'和\bm n=L^{\rm T}\bm n'代入柯西应力定理\bm T =\bm \sigma\bm n，有
L^{\rm T}\bm T'=\bm \sigma L^{\rm T}\bm n'
又由于\bm T' =\bm \sigma' \bm n'，有
L^{\rm T}\bm \sigma' \bm n'=\bm \sigma L^{\rm T}\bm n'
左乘L，有
\bm \sigma' \bm n'=(L\bm \sigma L^{\rm T})\bm n'
比较可得
\bm \sigma' =L\bm \sigma L^{\rm T}
与指标形式的推导一致。
至此，可以得到在坐标变换L=[l_{ij}]的作用下，柯西应力张量的变换满足
\begin{aligned}
\bm \sigma' &=L\bm \sigma L^{\rm T} \\
\sigma_{ij}'&=l_{ik}l_{jl}\sigma_{kl}
\end{aligned}