Voigt记号

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Voigt记号用于对称张量的降阶。例如一个二阶三维张量X=\sigma_{ij},满足\sigma_{ij}=\sigma_{ji},则原有的9个元素的二阶三维张量可简化为6个元素的一阶六维张量\sigma_k

转换法则分为两个部分,均与实际问题相关。

第一部分为下标变换,因为实际问题中多使用三维张量,因此定义映射k=v(n)=\{11,22,33,23,13,12\},n=1,2,...,6用于下标变换\sigma_{ij} \rightarrow \sigma_{k}

第二部分为系数变换,与实际物理关系有关。例如应力\sigma和应变\epsilon都是天然的二阶三维对称张量,若使等式\sigma_{ij}\epsilon_{ij}=\sigma_{k}\epsilon_{k}成立,则需要[\sigma_k]=[\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33},\sigma_{23},\sigma_{13},\sigma_{12}][\epsilon_k]=[\epsilon_{11},\epsilon_{22},\epsilon_{33},2\epsilon_{23},2\epsilon_{13},2\epsilon_{12}],这种变换称为Voigt记号。若使等式\sigma_{ij}\sigma_{ij}=\sigma_k\sigma_k成立,则需要[\sigma_k]=[\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33},\sqrt2\sigma_{23},\sqrt2\sigma_{13},\sqrt2\sigma_{12}],这种变换称为Mandel记号,这里可以定义映射t(n)=\{0,0,0,1,1,1\},n=1,2,...,6,则mandel记号可以表示为\sigma_k=2^{t(k)/2}\sigma_{v(k)}

对于更高阶的张量,例如常见的刚度、柔顺度等,均为四阶三维张量,若满足对称性X_{ijkl}=X_{jikl}X_{ijkl}=X_{ijlk},则可使下标两两一组,变换为二阶六维张量,此时变换的系数通常使用Mandel记号的约定。

在文章中,一般说明使用Voigt记号后,常见的物理量有以下表示形式:

应力:

[\sigma_{ij}]= \left[ \begin{array}{c} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33} \end{array} \right] \rightarrow [\sigma_{k}]=[\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33},\sigma_{23},\sigma_{13},\sigma_{12}]

应变:

[\epsilon_{ij}]= \left[ \begin{array}{c} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} & \epsilon_{13} \\ \epsilon_{12} & \epsilon_{22} & \epsilon_{23} \\ \epsilon_{13} & \epsilon_{23} & \epsilon_{33} \end{array} \right] \rightarrow [\epsilon_{k}]=[\epsilon_{11},\epsilon_{22},\epsilon_{33},2\epsilon_{23},2\epsilon_{13},2\epsilon_{12}]

四阶三维对称张量如正交异性材料的各向异性应力系数张量或柔顺度张量:

[\alpha_{pqmn}] \rightarrow [\alpha_{ij}]= \left[ \begin{array}{c} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} &&&\\ \alpha_{12} & \alpha_{22} & \alpha_{23} &&0&\\ \alpha_{13} & \alpha_{23} & \alpha_{33} &&& \\ &&& \alpha_{44}&& \\ &0&&& \alpha_{55} & \\ &&&&& \alpha_{66} \end{array} \right], \alpha_{ij}=2^{(t(i)+t(j))/2}\alpha_{v(i)v(j)}

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