频谱共轭对称的信号一定是实信号吗
TL;DR
是的，如果实信号的频谱一定共轭对称，频谱共轭对称的信号也一定是实信号。
证明
设信号f(t)=a(t)+ib(t),~~a(t),b(t)\in \real，则
\begin{aligned}
F(\omega)&=\mathbb F[f(t)]=\mathbb F[a(t)] + i\mathbb F[b(t)] \\
&= A(\omega) + iB(\omega)
\end{aligned}
实信号的频谱是共轭对称的（通过定义可证明，此处略），有：
A(\omega)=A^\ast(-\omega) \\
B(\omega)=B^\ast(-\omega)
式中\Box^\ast表示共轭。令：
A(\omega)=A_r(\omega)+iA_i(\omega) \\
B(\omega)=B_r(\omega)+iB_i(\omega)
则共轭对称条件可以表示为：
\tag{1}
\begin{aligned}
A_r(\omega) = A_r(-\omega)\hspace{2em}A_i(\omega)=-A_i(-\omega)\\
B_r(\omega) = B_r(-\omega)\hspace{2em}B_i(\omega)=-B_i(-\omega)
\end{aligned}
此时有：
F(\omega)=[A_r(\omega) -B_i(\omega)]+i[A_i(\omega)+B_r(\omega)]
若f(t)的频谱是共轭对称的，即：
F(\omega)=F^\ast(-\omega)
有：
\begin{aligned}
A_r(\omega) -B_i(\omega) &= A_r(-\omega) -B_i(-\omega) \\
A_i(\omega)+B_r(\omega) &= -A_i(-\omega)-B_r(-\omega)
\end{aligned}
又由(1)，可以得到：
B_r(\omega)=B_i(\omega)\equiv 0
因此：
b(t)=\mathbb F^{-1}[B(\omega)]\equiv0
故频谱共轭对称的信号一定是实信号，证毕。