频谱共轭对称的信号一定是实信号吗

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TL;DR

是的,如果实信号的频谱一定共轭对称,频谱共轭对称的信号也一定是实信号。

证明

设信号f(t)=a(t)+ib(t),~~a(t),b(t)\in \real,则

\begin{aligned} F(\omega)&=\mathbb F[f(t)]=\mathbb F[a(t)] + i\mathbb F[b(t)] \\ &= A(\omega) + iB(\omega) \end{aligned}

实信号的频谱是共轭对称的(通过定义可证明,此处略),有:

A(\omega)=A^\ast(-\omega) \\ B(\omega)=B^\ast(-\omega)

式中\Box^\ast表示共轭。令:

A(\omega)=A_r(\omega)+iA_i(\omega) \\ B(\omega)=B_r(\omega)+iB_i(\omega)

则共轭对称条件可以表示为:

\tag{1} \begin{aligned} A_r(\omega) = A_r(-\omega)\hspace{2em}A_i(\omega)=-A_i(-\omega)\\ B_r(\omega) = B_r(-\omega)\hspace{2em}B_i(\omega)=-B_i(-\omega) \end{aligned}

此时有:

F(\omega)=[A_r(\omega) -B_i(\omega)]+i[A_i(\omega)+B_r(\omega)]

f(t)的频谱是共轭对称的,即:

F(\omega)=F^\ast(-\omega)

有:

\begin{aligned} A_r(\omega) -B_i(\omega) &= A_r(-\omega) -B_i(-\omega) \\ A_i(\omega)+B_r(\omega) &= -A_i(-\omega)-B_r(-\omega) \end{aligned}

又由(1),可以得到:

B_r(\omega)=B_i(\omega)\equiv 0

因此:

b(t)=\mathbb F^{-1}[B(\omega)]\equiv0

故频谱共轭对称的信号一定是实信号,证毕。


标题:频谱共轭对称的信号一定是实信号吗
作者:joyqat
地址:https://joyqat.top/articles/2023/06/06/1686015825463.html

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