基本定义

1. 变形梯度张量$\mathbf{F}$

   $$\begin{gathered} \mathbf{F}=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} \\ {F}_{i\alpha }=\frac{\partial x_i}{\partial X_{\alpha }} \end{gathered}$$

2. 左格林-柯西变形张量$\mathbf{C}$，右格林-柯西变形张量$\mathbf{B}$

   $$\begin{gathered} \mathbf{C}={\mathbf{F}}^{\mathrm{T}}\mathbf{F} \\ \mathbf{B}=\mathbf{F}{\mathbf{F}}^{\mathrm{T}} \end{gathered}$$

3. 拉格朗日有限应变张量（格林-拉格朗日应变张量、格林-圣维南应变张量）$\mathbf{E}$，欧拉应变张量（欧拉-阿尔曼西有限应变张量）$\mathbf{e}$

   $$\begin{gathered} \mathbf{E}=\frac{1}{2}\left({\nabla }_X\mathbf{u}+{\left({\nabla }_X\mathbf{u}\right)}^{\mathrm{T}}+{\left({\nabla }_X\mathbf{u}\right)}^{\mathrm{T}}{\nabla }_X\mathbf{u}\right)=\frac{1}{2}(\mathbf{C}-\mathbf{I}) \\ \mathbf{e}=\frac{1}{2}\left({\nabla }_x\mathbf{u}+{\left({\nabla }_x\mathbf{u}\right)}^{\mathrm{T}}+{\left({\nabla }_x\mathbf{u}\right)}^{\mathrm{T}}{\nabla }_x\mathbf{u}\right)=\frac{1}{2}(\mathbf{I}-{\mathbf{B}}^{-1}) \end{gathered}$$

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4. 应变张量$\mathbf{\epsilon }$

   $$\mathbf{\epsilon }=\frac{1}{2}\left({\nabla }_x\mathbf{u}+{\left({\nabla }_x\mathbf{u}\right)}^{\mathrm{T}}\right)$$

无限小应变时

注意

在考虑物体的较大变形时（理论也可兼容小变形，但是复杂度高），在有限变形理论范畴下考虑，在考虑小变形时（例如无损检测用的超声扰动），在无限小应变理论范畴下考虑。

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