基本定义

1. 变形梯度张量\bm F

   \bm F = \frac{\partial \bm x}{\partial \bm X} \\ F_{i\alpha}=\frac{\partial x_i}{\partial X_\alpha}

2. 左格林-柯西变形张量\bm C，右格林-柯西变形张量\bm B

   \bm C = \bm F^{\rm T}\bm F \\ \bm B = \bm F \bm F^{\rm T}

3. 拉格朗日有限应变张量（格林-拉格朗日应变张量、格林-圣维南应变张量）\bm E，欧拉应变张量（欧拉-阿尔曼西有限应变张量）\bm e

   \bm E=\frac12\left(\nabla_X \bm u + \left(\nabla_X \bm u \right)^{\rm T} +\left(\nabla_X \bm u \right)^{\rm T} \nabla_X \bm u \right)=\frac12(\bm C - \bm I) \\ \bm e=\frac12\left(\nabla_x \bm u + \left(\nabla_x \bm u \right)^{\rm T} +\left(\nabla_x \bm u \right)^{\rm T} \nabla_x \bm u \right)=\frac12(\bm I - \bm B^{-1})

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4. 应变张量\bm \varepsilon

   \bm \varepsilon=\frac12\left(\nabla_x \bm u + \left(\nabla_x \bm u \right)^{\rm T}\right)

无限小应变时

注意

在考虑物体的较大变形时（理论也可兼容小变形，但是复杂度高），在有限变形理论范畴下考虑，在考虑小变形时（例如无损检测用的超声扰动），在无限小应变理论范畴下考虑。

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